School

Теорема на Варинион - ако $ABCD$ е произволен четириъгълник и точките $M,N,P,Q$ са среди на страните му, то четириъгълникът $MNPQ$ е успоредник

а) следствие - лицето на четириъгълника $ABCD$ е два пъти лицето на Варинионовия му успоредник

$$S_{ABCD}=2S_{MNPQ}$$

Теорема на Ойлер - ако $ABCD$ е произволен четириъгълник и точките $K,L$ са среди на диагоналите му, то е вярно, че

$$A{B}^2+B{C}^2+C{D}^2+A{D}^2=A{C}^2+B{D}^2+4K{L}^2$$

Вписан четириъгълник - четириъгълник, около който може да се опише окръжност

Четириъгълник е вписан тогава и само тогава, когато сборът на два от срещуположните му ъгли е 180°.

Четириъгълник е вписан тогава и само тогава, когато някоя от страните му се вижда под един и същ ъгъл от другите два върха на четириъгълника.

а) теорема на Птолемей - произведението на диагоналите във вписан четириъгълник е равно на сбора от произведенията на срещуположните му страни

$$AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD$$

б) лице - теорема на Брахмагупта

$$S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$$

Описан четириъгълник - четириъгълник, в който може да се опише окръжност, която се допира до четирите му страни

Четириъгълник е описан тогава и само тогава, когато три от ъглополовящите му се пресичат в една точка.

Четириъгълник е описан тогава и само тогава, когато сборът на две негови срещуположни страни е равен на сбора на другите му две страни.

а) лице на описан четириъгълник

$$S=pr$$

• радиус на вписаната окръжност: $r$
• полупериметър на четириъгълника: $p$

Ограден четириъгълник - четириъгълник, който е и вписан, и описан

а) лице

$$S=\sqrt{abcd}$$